Question

在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）當(dāng)MN⊥平面PCD時(shí)，求二面角P-CD-B的大�。�

Answer 1

分析：（1）取CD的中點(diǎn)E，連接ME、NE，要證MN∥平面PAD，只需證明MN所在平面MNE平行平面PAD即可．
（2）MN⊥平面PCD，說(shuō)明∠MEN即為二面角P-CD-B的平面角，解三角形MEN，求二面角P-CD-B的大�。�

解答：（1）證明：取CD的中點(diǎn)E，連接ME、NE．
∵M(jìn)、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，
∴NE∥PD，ME∥AD．于是NE∥平面PAD，
ME∥平面PAD．
∴平面MNE∥平面PAD，MN?平面MNE．
∴MN∥平面PAD．
（2）解：設(shè)MA=MB=a，BC=b，則MC=

a2+b2

．
∵N是PC的中點(diǎn)，MN⊥平面PCD，
∴MN⊥PC．于是MP=MC=

a2+b2

．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AM，PA=

PM2-AM2

=b．
于是PD=

2

b，EN是△PDC的中位線(xiàn)，EN=

1

2

PD=

2

2

b．
∵M(jìn)E⊥CD，MN⊥平面PCD，
∴EN⊥CD，∠MEN即為二面角P-CD-B的平面角．
設(shè)為α，于是cosα=

EN

EM

=

2

2

，α=45°，即二面角P-CD-B的大小為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的判定，二面角及其度量，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，是中檔題．