Question

已知點(diǎn)A（-2，2）及點(diǎn)B（-8，0），試在直線l：2x-y+1=0上，求出符合下列條件的點(diǎn)P：
（1）使|PA|+|PB|為最��；
（2）使|PA|²+|PB|²為最�。�

Answer 1

分析：（1））設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′坐標(biāo)為（x₀，y₀），求出A′，推出A′B的直線方程，然后求出P使|PA|+|PB|為最小；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2t+1），列出|PA|²+|PB|²，通過二次函數(shù)求出最小值時(shí)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）使|PA|+|PB|為最小，只需求A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′與B的距離最�。�
設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則

y0-2 x0+2 •2=-1 x0-2 2 ×2- y0+2 2 +1=0

解得

x0=2 y0=0

，
即A′（2，0）
求得A′B的直線方程為：y=0．
求得點(diǎn)P（-

1

2

，0）．…（7分）
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2t+1），
則|PA|²+|PB|²=（t+2）²+（2t-1）²+（t+8）²+（2t+1）²=10t²+20t+70
當(dāng)t=-1時(shí)，取得最小值，即P（-1，-1）…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程，點(diǎn)與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．