Question

已知{a_n}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為A_n，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)，…的最小值記為B_n，d_n=A_n－B_n.
(1)若{a_n}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N^*，)，寫出d₁，d₂，d₃，d₄的值；
(2)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：d_n=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{a_n}為公差為d的等差數(shù)列；
(3)證明：若a₁=2，d_n=1(n=1,2,3…)，則{a_n}的項(xiàng)只能是1或2，且有無窮多項(xiàng)為1.

Answer 1

(1)，. (2)見解析 (3)見解析

充分利用題目所給信息進(jìn)行反復(fù)推理論證.要證明充要條件，需要充分性和必要性兩個(gè)方面敘述.
(1)，.
(2)充分性：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015519870507.png" style="vertical-align:middle;" />是公差為的等差數(shù)列，且，所以，
因此，.
必要性：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015519964960.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015520089754.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
于是.
因此， ，即是公差為的等差數(shù)列.
(3)因?yàn)閍₁=2，d_n=1，所以，，
故對任意，.
假設(shè)，中存在大于2的項(xiàng)，
設(shè)m為滿足的的最小正整數(shù)，
則，并且對任意，
又因?yàn)閍₁=2，所以，且.
于是.
故，與矛盾.
所以對于任意，都有，即非負(fù)整數(shù)數(shù)列的各項(xiàng)只能為1或2,.
因?yàn)閷θ我?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015520432395.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以.
故
因此，對于任意正整數(shù)，存在滿足，且，即數(shù)列{a_n}有無窮多項(xiàng)為1.
【考點(diǎn)定位】本題考查了數(shù)列的周期性，等差數(shù)列.考查了推理論證能力和數(shù)據(jù)處理能力.試題難度較大，解答此題，需要非常強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力.本題是一個(gè)信息題，考查了學(xué)生對知識(shí)的遷移能力.