Question

【題目】如圖，已知圓心坐標(biāo)為（，1）的圓M與x軸及直線y=x分別相切于A，B兩點(diǎn)，另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y=x分別相切于C、D兩點(diǎn)．

（1）求圓M和圓N的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長(zhǎng)度

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

試題分析：（1）圓M的圓心已知，且其與x軸及直線分別相切于A，B兩點(diǎn)，故半徑易知，另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線分別相切于C、D兩點(diǎn)，由相似性易得其圓心坐標(biāo)與半徑，依定義寫出兩圓的方程即可；（2）本題研究的是直線與圓相交的問(wèn)題，由于B點(diǎn)位置不特殊，故可以由對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為求過(guò)A點(diǎn)且與線MN平行的線被圓截得弦的長(zhǎng)度，下易解

試題解析：（1）由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半

徑，則M在∠BOA的平分線上，

同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N三點(diǎn)共線，且OMN為∠BOA

的平分線，

∵M的坐標(biāo)為（，1），∴M到x軸的距離為1，即⊙M的半徑為1，

則⊙M的方程為，

設(shè)⊙N的半徑為r，其與x軸的切點(diǎn)為C，連接MA，NC，

由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，

即得r=3，

則OC=，則⊙N的方程為；

（2）由對(duì)稱性可知，所求的弦長(zhǎng)等于過(guò)A點(diǎn)直線MN的平行線被⊙N截得的弦的長(zhǎng)度，

此弦的方程是，即：x﹣﹣=0，

圓心N到該直線的距離d=，則弦長(zhǎng)=2．