Question

已知關于x的不等式

ax-5

x-a

＜0的解集為M．
（1）當a=4時，求集合M； 
（2）若3∈M且5∉M，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=4時，不等式化為

4x-5

x-4

＜0，推出同解不等式，利用穿根法解不等式求得集合M；
（2）對a=5，和a≠5時分類討論，用3∈M且5∉M，推出不等式組，然后解分式不等式組，求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）a=4時，不等式為

4x-5

x-4

＜0，解之，得 M=(

5

4

，4)；        （5分）
（2）①a≠5時，

3∈M 5∉M

⇒

3a-5 3-a ＜0 5a-5 5-a ≥0

⇒a∈[1，

5

3

)∪(3，5)，（5分）
②a=5時，不等式為

5x-5

x-5

＜0，解得M=（1，5），
則 3∈M且5∉M，∴a=5滿足條件，
綜上，得 a∈[1，

5

3

)∪(3，5]．                          （3分）

點評：本題考查其他不等式的解法，元素與集合關系的判斷，考查穿根法，分式不等式的解法，是中檔題．