Question

(本小題滿分16分)

已知數(shù)列和，對一切正整數(shù)n都有：

成立．

 （Ⅰ）如果數(shù)列為常數(shù)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

 （Ⅱ）如果數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求證數(shù)列是等比數(shù)列．

（Ⅲ）如果數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是否是等差數(shù)列？如果是，求出這個數(shù)列的通項(xiàng)公式；如果不是，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．

（Ⅱ）數(shù)列是4為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列． 

（Ⅲ）   …

     若時，，數(shù)列為等差數(shù)列．

     若時，∵a₂－a₁≠a₃－a₂ ,

∴，不是等差數(shù)列．

     故時，數(shù)列為等差數(shù)列；時數(shù)列不為等差數(shù)列……16分

 

 

【解析】（本小題滿分16分）

（Ⅰ），由已知得：，

     將用迭代得：．（）

      兩式相減得：，當(dāng)時，適合

      ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．       ………………4分

（Ⅱ），由已知得：，

      將用迭代得：．（n≥2）

      兩式相減得：，   ………………………7分     

將用迭代得：．

      兩式相減得：，經(jīng)檢驗(yàn)也適合．

      所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

故數(shù)列是4為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列．    ………………10分

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由已知得：

     

     即：

     即：

     所以：    ………………………13分

     若時，，數(shù)列為等差數(shù)列．

     若時，∵a₂－a₁≠a₃－a₂ ,

∴，不是等差數(shù)列．

     故時，數(shù)列為等差數(shù)列；時數(shù)列不為等差數(shù)列……16分