Question

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)的極值點(diǎn)為和．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值；

（Ⅱ）試討論方程根的個數(shù)；

（Ⅲ）設(shè)，斜率為的直線與曲線交于

兩點(diǎn)，試比較與的大小，并給予證明．

Answer 1

本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想．滿分14分.

解：（Ⅰ），，……………… 1分

由的極值點(diǎn)為和，

∴的根為和，

∴解得                   ……………………3分

（Ⅱ）由得，

，設(shè)， .

，      ………………5分

當(dāng)變化時，與的變化情況如下表：

	－	+
	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.…6分

∴，

且當(dāng)正向趨近于0時，趨近于，

當(dāng)趨近于時，趨近于. ………………7分

∴當(dāng)時，方程只有一解；

當(dāng)時，方程有兩解；

當(dāng)時，方程無解.                         ………………9分

（Ⅲ）.                                   ……………10分

證明：由（Ⅰ）得，

∴，.

要證，即證，

只需證，（因?yàn)?sub>）

即證．只需證．（*）…………………12分

設(shè) ，

，

∴在單調(diào)遞增，，

∴不等式（*）成立.

∴．                                 ………………… 14分