Question

如圖所示的幾何體是由以正三角形ABC為底面的直棱柱被平面 DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O為AB的中點．
（1）當(dāng)a=4時，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值；
（2）當(dāng)a為何值時，在棱DE上存在點P，使CP⊥平面DEF？

Answer 1

【答案】分析：（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面的法向量的夾角即可得到二面角的余弦值；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直的判定定理即可得出．
解答：解：（1）分別取AB、DF的中點O、G，連接OC、OG．
以直線OB、OC、OG分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵AF=a=4，則D、E、F的坐標(biāo)分別為D（1，0，1）、E（0，，3）、F（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3）
設(shè)平面DEF的法向量，
由得，
令z=6，則x=9，，∴．
平面ABC的法向量可以取．
∴===．
∴平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值為．
（2）在（1）的坐標(biāo)系中，AF=a，=（-1，，2），=（-2，0，a-1），C．
因P在DE上，設(shè)，
則=（1，0，1）+=．
∴=．
于是CP⊥平面DEF的充要條件為，得到                                 
由此解得，，a=2．
即當(dāng)a=2時，在DE上存在靠近D的第一個四等分點P，使CP⊥平面DEF．
點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩平面的法向量的夾角求二面角的余弦值、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．