Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，且原點O到直線

x

a

+

y

b

=1的距離為d=

2 21

7

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點M（

3

，0）作直線與橢圓C交于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由e=

c

a

=

1

2

，知a²=4c²=4（a²-b²），由直線方程為

x

a

+

y

b

=1，知d=

ab

a2+b2

=

2 21

7

，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線PQ：x=my+

3

，代入橢圓C：3x²+4y²=12，得(3m2+4)y2+6

3

my-3=0，△=(6

3

m)2+12(3m2+4)=48(3m2+1)＞0，△OPQ的面積為S=

1

2

|OM||y1-y2|=

3

2

×

△

3m2+4

=

6 3m2+1

3m2+4

，由此能求出△OPQ面積的最大值．

解答：解：（1）∵e=

c

a

=

1

2

，∴a²=4c²=4（a²-b²），即4b²=3a²，（1）（2分）
又∵直線方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay=ab，
∴d=

ab

a2+b2

=

2 21

7

，即7a²b²=12（a²+b²）（2）（4分）
聯(lián)立（1）（2）解得a²=4，b²=3，∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（6分）
（2）由題意，設直線PQ：x=my+

3

，
代入橢圓C：3x²+4y²=12，化簡，得(3m2+4)y2+6

3

my-3=0，
△=(6

3

m)2+12(3m2+4)=48(3m2+1)＞0，則△OPQ的面積為
S=

1

2

|OM||y1-y2|=

3

2

×

△

3m2+4

=

6 3m2+1

3m2+4

，（9分）
∴S=

6 3m2+1

(3m2+1)+3

≤

6 3m2+1

2 3(3m2+1)

=

3

，
所以，當3m2+1=3，m2=

2

3

時，△OPQ面積的最大值為

3

．（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．