Question

有4名老師和4名學(xué)生站成一排照相．（必須寫出解析式再算出結(jié)果才能給分）
（1）4名學(xué)生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
（2）任兩名學(xué)生都不能相鄰，共有多少種不同的排法？
（3）老師和學(xué)生相間排列，共有多少種不同的排法？

Answer 1

解：（I）用“捆綁法”把4個(gè)學(xué)生綁在一起，看做一個(gè)整體，有A₄⁴種方法，
將此整體和4個(gè)老師進(jìn)行全排列，有A₅⁵種方法，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得滿足條件的排法共有 A₄⁴A₅⁵=2880種． （4分）
（II）先將4個(gè)老師進(jìn)行用全排列有A₄⁴種方法，再把4個(gè)學(xué)生插入5個(gè)空中的4個(gè)中去，有A₅⁴種方法，
故用“插空法”求得任兩名學(xué)生都不能相鄰的排法共有 A₄⁴A₅⁴=2880種． （8分）
（III）只有兩種間隔法，即老師在排頭，或?qū)W生在排頭，可得共有 2A₄⁴A₄⁴=1152 種不同的排法． （12分）
分析：（I）相鄰問題用“捆綁法”，把4個(gè)學(xué)生綁在一起，看做一個(gè)整體，有A₄⁴種方法，將此整體和4個(gè)老師進(jìn)行全排列，有A₅⁵種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得滿足條件的排法種數(shù)．
（II）不相鄰問題用“插空法”，先將4個(gè)老師進(jìn)行用全排列有A₄⁴種方法，再把4個(gè)學(xué)生插入5個(gè)空中的4個(gè)中去，有A₅⁴種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得滿足條件的排法種數(shù)．
（III）只有兩種間隔法，即老師在排頭，或?qū)W生在排頭，可得共有 2A₄⁴A₄⁴種不同的排法．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查排列、組合以及簡單計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意把特殊元素與位置綜合分析．相鄰問題用“捆綁法”，不相鄰問題用“插空法”．