Question

定議在上的單調(diào)函數(shù)滿足，且對(duì)任意都有
（1）求證：為奇函數(shù)；
（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析：（2）.

解析試題分析：（1）賦值法求解，再尋找之間的關(guān)系；（2）先研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用奇偶性化為，即對(duì)任意的恒成立，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)知識(shí)求解.本題考查了恒成立問(wèn)題以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.
試題解析：（1）證明：①
令，代入①式，得即
令，代入①式，得，又
則有即對(duì)任意成立，
所以是奇函數(shù).                             4分
（2）解：，即，又在上是單調(diào)函數(shù)，
所以在上是增函數(shù).
又由（1）是奇函數(shù).
對(duì)任意成立.
令，問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意恒成立.         8分
令其對(duì)稱軸.
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立
解得                          12分
綜上所述當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立.
考點(diǎn)：1.函數(shù)奇偶性的證明；2.二次函數(shù)恒成立問(wèn)題；3.化歸與轉(zhuǎn)化思想.