Question

（2010•臺州一模）若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則

1

a

+

4

b

的最小值是（　　）

A．5

B．6

C．8

D．9

Answer 1

分析：由圓的方程x²+y²+2x-4y+1=0⇒圓心O為（-1，2），半徑r=2；又直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4⇒（-1，2）為直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上的點，于是-2a-2b+2=0⇒a+b=1，代入

1

a

+

4

b

，應(yīng)用基本不等式即可．

解答：解：由x²+y²+2x-4y+1=0得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴該圓的圓心為O（-1，2），半徑r=2；
又直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，
∴直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過圓心O（-1，2），
∴-2a-2b+2=0，即a+b=1，又a＞0，b＞0，
∴

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）•（a+b）=1+

b

a

+

4a

b

+4≥5+2

b a • 4a b

=9（當(dāng)且僅當(dāng)a=

1

3

，b=

2

3

時取“=”）．
故選D．

點評：本題考查基本不等式，難點在于對“直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過圓心O（-1，2），”的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．