Question

已知離心率為的橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點M（，1），O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，若直線l是圓O：x²+y²=的一條切線，試證明∠AOB=．它的逆命題成立嗎？若成立，請給出證明；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點M（，1），且離心率為，所以，曲此能得到橢圓C的方程．
（2）若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=kx+m，直線l與橢圓C交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線l與圓O相切得r=，聯(lián)立方程組，得x²+2（kx+m）²=8，再由根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別能夠推導(dǎo)出∠AOB=．逆命題：已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，若∠AOB=，則直線l是圓O：x²+y²=的一條切線．結(jié)論成立．再進行證明．
解答：解：（1）因為橢圓C：+（a＞b＞0）過點M（，1），且離心率為，
所以，
解得，
故橢圓C的方程為+=1．
（2）若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=kx+m，直線l與橢圓C交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線l與圓O相切得r=，即r²==．
聯(lián)立方程組，得x²+2（kx+m）²=8，
即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0．由方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，
從而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=-+m²=．
要證∠AOB=，即⊥，只需證x₁x₂+y₁y₂=0，
即證+=0，即證3m²-8k²-8=0，而=，
所以3m²-8k²-8=0成立．即∠AOB=．
而當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l為x=±，
此時直線l與橢圓+=1的兩個交點為（，±）或（-，±），
滿足⊥．綜上，有∠AOB=．
逆命題：已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，若∠AOB=，則直線l是圓O：x²+y²=的一條切線．結(jié)論成立．
證明：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：y=kx+m，直線l與橢圓C：+=1的兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組，
得x²+2（kx+m）²=8，即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，由方程根與系數(shù)的關(guān)系得：
，
則y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=-+m²=．
由∠AOB=知，⊥，
即x₁x₂+y₁y₂=0，即+=0，
所以3m²-8k²-8=0．因為圓心到直線l的距離d=，
則d²===，而r²=，此時直線y=kx+m與圓O相切．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，由⊥可以計算得到直線l與橢圓+=1的兩個交點為（，±）或
（-，±），
此時直線l為x=±．滿足圓心到直線的距離等于半徑，即直線與圓相切．
綜上，其逆命題成立．
點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．