Question

【題目】已知函數f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出該零點．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：方程（2x）2+m2x+1=0僅有一個實根，設2x=t（t＞0），則t2+mt+1=0有且只有一個正實數根，考慮應用判別式，分判別式大于0和等于0兩種情況

試題解析：∵f（x）＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，

即方程（2x）2＋m·2x＋1＝0僅有一個實根．

設2x＝t（t＞0），則t2＋mt＋1＝0.

當Δ＝0時，即m2－4＝0.

∴m＝－2時，t＝1；m＝2時，t＝－1（不合題意，舍去），

∴2x＝1，x＝0符合題意．

當Δ＞0時，即m＞2或m＜－2時，

t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負根，

即f（x）有兩個零點或沒有零點．

∴這種情況不符合題意．

綜上可知：m＝－2時，f（x）有唯一零點，該零點為x＝0.