Question

（2012•黑龍江）已知函數(shù)f（x）滿足f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+

1

2

x2；
（1）求f（x）的解析式及單調區(qū)間；
（2）若f(x)≥

1

2

x2+ax+b，求（a+1）b的最大值．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）求導，再令自變量為1，求出f′（1）得到函數(shù)的解析式及導數(shù)，再由導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）由題意f(x)≥

1

2

x2+ax+b?h(x)=ex-(a+1)x-b≥0，借助導數(shù)求出新函數(shù)的最小值，令其大于0即可得到參數(shù)a，b 所滿足的關系式，再研究（a+1）b的最大值

解答：解：（1）f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+

1

2

x2⇒f′(x)=f′(1)ex-1-f(0)+x
令x=1得：f（0）=1
∴f(x)=f′(1)ex-1-x+

1

2

x2令x=0，得f（0）=f'（1）e^-1=1解得f'（1）=e
故函數(shù)的解析式為f(x)=ex-x+

1

2

x2
令g（x）=f'（x）=e^x-1+x
∴g'（x）=e^x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上單調遞增
當x＞0時，f'（x）＞f'（0）=0；當x＜0時，有
f'（x）＜f'（0）=0得：
函數(shù)f(x)=ex-x+

1

2

x2的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），單調遞減區(qū)間為（-∞，0）
（2）f(x)≥

1

2

x2+ax+b?h(x)=ex-(a+1)x-b≥0得h′（x）=e^x-（a+1）
①當a+1≤0時，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上單調遞增x→-∞時，h（x）→-∞與h（x）≥0矛盾
②當a+1＞0時，h′（x）＞0?x＞ln（a+1），h'（x）＜0?x＜ln（a+1）
得：當x=ln（a+1）時，h（x）_min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b≥0，即（a+1）-（a+1）ln（a+1）≥b
∴（a+1）b≤（a+1）²-（a+1）²ln（a+1），（a+1＞0）
令F（x）=x²-x²lnx（x＞0），則F'（x）=x（1-2lnx）
∴F′(x)＞0?0＜x＜

e

，F(xiàn)′(x)＜0?x＞

e

當x=

e

時，F(x)max=

e

2

即當a=

e

-1，b=

e

2

時，（a+1）b的最大值為

e

2

點評：本題考查導數(shù)在最值問題中的應用及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，解題的關鍵是第一題中要賦值求出f′（1），易因為沒有將f′（1）看作常數(shù)而出錯，第二題中將不等式恒成立研究參數(shù)關系的問題轉化為最小值問題，本題考查了轉化的思想，考查判斷推理能力，是高考中的熱點題型，難度較大，計算量也大，易馬虎出錯