Question

已知M（4，0），N（1，0）若動(dòng)點(diǎn)P滿足
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方C的方程；
（2）設(shè)Q是曲線C上任意一點(diǎn)，求Q到直線l：x+2y-12=0的距離的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則由已知P滿足可知P的軌跡方程
（2）解法一：由幾何性質(zhì)意義知，橢圓C與平行的切線其中一條和l的距離等于Q與l的距離的最小值．
把x+2y+D=0代入橢圓方程消去x，由△=0可得D，進(jìn)而可求最小距離
解二：由集合意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l′和l的距離等于Q與l的距離的最小值．設(shè)切點(diǎn)為R（x，y），則l′：=1，k=-，聯(lián)立可求x，y，代入可求最小距離
解三：由橢圓參數(shù)方程設(shè)sinθ），由點(diǎn)Q與l距離d=，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求
解四：設(shè)Q（x，y），=1且Q與l距離d=，由柯西不等式可求
解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則=（1-x，-y）
由已知得-3（x-4）=6=12即=1
∴點(diǎn)P的軌跡方程是橢圓C：=1
（2）解一：由幾何性質(zhì)意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值．
設(shè)l′：x+2y+D=0
代入橢圓方程消去x化簡(jiǎn)得：16y²+12Dy+3（D²-4）=0∴△=144D²-192（D²-4）=0⇒D=±4
l′與l距離的最小值為
∴Q與l距離的最小值為
解二：由集合意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值．設(shè)切點(diǎn)為R（x，y），則l′：=1k=-
解得∴l(xiāng)′為x+2y±4=0
l′與l距離的最小值為
∴Q與l距離的最小值為
解三：由橢圓參數(shù)方程設(shè)sinθ）
則Q與l距離d=∴sin（θ+30°）=1時(shí)d_min=
解四：設(shè)Q（x，y），=1
且Q與l距離d=
由柯西不等式，
∴|x+2y|≤4，
∴d_min=
點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積的定義為載體，主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意體會(huì)了一題多解 的方法的應(yīng)用．