Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）代入，對(duì)求導(dǎo)，代入得到斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程；（2）對(duì)求導(dǎo)，令，然后再求導(dǎo)得到，可得時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，再根據(jù)，按和進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，從而得到若函數(shù)在區(qū)間上有極值，則．

（1）當(dāng)時(shí)，，，

則，，

故曲線在處的切線方程為：，即.

（2），，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，故

①當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

②當(dāng)時(shí)，，，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，

所以在上，恒成立，

所以，

所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)存在極小值．

綜上，若函數(shù)在區(qū)間上有極值，則．

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.