Question

【題目】經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，我市城區(qū)某擁擠路段的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù).當(dāng)該路段的車流密度達(dá)到180輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為40千米/小時(shí)；當(dāng)時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，該擁擠路段車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過該路段某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時(shí)）.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)車流密度為時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值為2025輛/小時(shí)

【解析】

（1）根據(jù)自變量的取值不同，根據(jù)題意，寫成分段函數(shù)；

（2）由（1）求得，從而得到，考慮其單調(diào)性，從而求解最大值.

（1）由題意，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，設(shè).

由已知得，

解得.

故函數(shù)的表達(dá)式為

.

（2）依題意及（1）可得，

.

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，其最大值為；

當(dāng)時(shí)，

.

所以當(dāng)時(shí)，

在區(qū)間上取得最大值2025.

綜上，當(dāng)時(shí)，

在區(qū)間上取得最大值，

即當(dāng)車流密度為90輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值為2025輛/小時(shí).