Question

【題目】已知過點A(1,m)恰能作曲線f(x)=x3-3x的兩條切線,則m的值是_____.

Answer 1

【答案】-3或-2

【解析】設(shè)切點為(a,a3-3a).

∵f(x)=x3-3x,

∴f'(x)=3x2-3,

∴切線的斜率k=3a2-3,

由點斜式可得切線方程為y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a).

∵切線過點A(1,m),

∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),

即2a3-3a2=-3-m.

∵過點A(1,m)可作曲線y=f(x)的兩條切線,

∴關(guān)于a的方程2a3-3a2=-3-m有兩個不同的根.

令g(x)=2x3-3x2,

∴g'(x)=6x2-6x.

令g'(x)=0,解得x=0或x=1,

當x<0時,g'(x)>0,當0<x<1時,g'(x)<0,當x>1時,g'(x)>0,

∴g(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,

∴當x=0時,g(x)取得極大值g(0)=0,當x=1時,g(x)取得極小值g(1)=-1.

關(guān)于a的方程2a3-3a2=-3-m有兩個不同的根,等價于y=g(x)與y=-3-m的圖象有兩個不同的交點,

∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,

∴實數(shù)m的值是-3或-2.