Question

已知函數(shù)，其中a，b∈R
(1)求函數(shù)f(x)的最小值；
(2)當a＞0，且a為常數(shù)時，若函數(shù)h(x)＝x[g(x)＋1]對任意的x₁＞x₂≥4，總有成立，試用a表示出b的取值范圍；
(3)當時，若對x∈[0，＋∞)恒成立，求a的最小值.

Answer 1

(1)；(2)時，，時，；(3)1

試題分析：(1)利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最小值；(2)解決本題的關鍵是由“對任意的x₁＞x₂≥4，總有成立”得出“在上單調(diào)遞增”，從而再次轉(zhuǎn)化為導函數(shù)大于0的問題求解；(3)通過構造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為對恒成立，于是轉(zhuǎn)化為求在上的最大值問題求解.解題過程中要注意對參數(shù)的合理分類討論.
試題解析：(1)∵，令，得
∴在(0，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增
∴在處取得最小值
即；        4分
(2)由題意，得在上單調(diào)遞增
∴在上恒成立
∴在上恒成立        5分
構造函數(shù)
則
∴F(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
(i)當，即時，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
∴
∴，從而        7分
(ii)當，即時，F(xiàn)(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增
，從而        8分
綜上，當時，，時，；     9分
(3)當時，構造函數(shù)

由題意，有對恒成立
∵
(i)當時，
∴在上單調(diào)遞增
∴在上成立，與題意矛盾.        11分
(ii)當時，令
則，由于
①當時，，在上單調(diào)遞減
∴，即在上成立
∴在上單調(diào)遞減
∴在上成立，符合題意        12分
②當時，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
∵
∴在成立，即在成立
∴在上單調(diào)遞增
∴在上成立，與題意矛盾     13分
綜上，a的最小值為1           14分