Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n﹣5an﹣85，n∈N*

（1）證明：{an﹣1}是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式．請(qǐng)指出n為何值時(shí)，Sn取得最小值，并說明理由？（參考數(shù)據(jù)15＝﹣14.85）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）Sn＝n+75（）n﹣1﹣90．n＝15時(shí)，Sn取得最小值，見解析

【解析】

（1）利用已知得到an﹣1＝（an﹣1﹣1），即得{an﹣1}是等比數(shù)列；（2）先求出，再求出，再分析得到當(dāng)n≤15時(shí)，an＜0；當(dāng)n≥16時(shí)，an＞0．即得解.

（1）當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1﹣5a1﹣85，解得a1＝﹣14，則a1﹣1＝﹣15．

∵當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1＝（n﹣1）﹣5an﹣1﹣85，

∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝1﹣5an+5an﹣1，∴6an＝5an﹣1+1，

即an﹣1＝（an﹣1﹣1），∴{an﹣1}是首項(xiàng)為﹣15，公比為的等比數(shù)列．

（2）∵an﹣1＝﹣15（）n﹣1，所以.

∴Sn＝n﹣5[1﹣15（）n﹣1]﹣85＝n+75（）n﹣1﹣90．

令an＝1﹣15（）n﹣1＞0，即15（）n﹣1＜1，解得n＞+1≈15.85．

∴當(dāng)n≤15時(shí)，an＜0；當(dāng)n≥16時(shí)，an＞0．

故n＝15時(shí)，Sn取得最小值．