Question

設(shè)M是把坐標平面上點的橫坐標不變、縱坐標沿y軸方向伸長為原來5倍的伸壓變換．
（1）求直線4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值與特征向量．

Answer 1

分析：（1）先求伸壓變換M=

1 0 0 5

，再求出點的變換規(guī)律，代入4x-10y=1，從而求出方程；（2）由矩陣M的特征多項式f(λ)=

.

λ-1 0 0 λ-5

.

=(λ-1)(λ-5)=0，所以M的特征值為λ₁=1，λ₂=5，進而求出對應的特征向量．

解答：（1）M=

1 0 0 5

．設(shè)（x'，y'）是所求曲線上的任一點，

1 0 0 5

x y

=

x′ y′

，
所以

x′=x y′=5y

所以

x=x′ y= 1 5 y′

代入4x-10y=1得，4x'-2y'=1，
所以所求曲線的方程為4x-2y=1．
（2）矩陣M的特征多項式f(λ)=

.

λ-1 0 0 λ-5

.

=(λ-1)(λ-5)=0，
所以M的特征值為λ₁=1，λ₂=5．
當λ₁=1時，由Mα₁=λ₁α₁，得特征向量α1=

1 0

；
當λ₂=5時，由Mα₂=λ₂α₂，得特征向量α2=

0 1

．

點評：本題考查矩陣的性質(zhì)和應用、特征值與特征向量的計算，解題時要注意特征值與特征向量的計算公式的運用．細