Question

已知函數(shù)f(x)=ax2+lnx，f1(x)=

1

6

x2+

4

3

x+

5

9

lnx，f2(x)=

1

2

x2+2ax，a∈R
（1）求證：函數(shù)f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線橫過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若f（x）＜f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=

2

3

時(shí)，求證：在區(qū)間（1，+∞）上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數(shù)g（x）有無窮多個(gè)．

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)f′(x)=2ax+

1

x

，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線的斜率為k=2ae+

1

e

，從而寫出切線方程得出切線恒過定點(diǎn)；
（2）先令p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx＜0，對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，
利用導(dǎo)數(shù)求出p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，從而得出：要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足p(1)=-a-

1

2

≤0，由此解得a的范圍即可．
（3）當(dāng)a=

2

3

時(shí)，f1(x)=

1

6

x2+

4

3

x+

5

9

lnx，f2(x)=

1

2

x2+

4

3

x．
記y=f2(x)-f1(x)=

1

3

x2-

5

9

lnx，x∈(1，+∞)．利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，得出y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，最后得到滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數(shù)g（x）有無窮多個(gè)．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="22amftz" class="MathJye">f′(x)=2ax+

1

x

，所以f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線的斜率為k=2ae+

1

e

，
所以f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為y=(2ae+

1

e

)(x-e)+ae2+1，
整理得y-

1

2

=(2ae+

1

e

)(x-

e

2

)，所以切線恒過定點(diǎn)(

e

2

，

1

2

)．
（2）令p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx＜0，對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，
因?yàn)?span id="lqnf7qd" class="MathJye">p′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

（*）
令p'（x）=0，得極值點(diǎn)x₁=1，x2=

1

2a-1

，
①當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，有x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1時(shí)，在（x₂，+∞）上有p'（x）＞0，
此時(shí)p（x）在區(qū)間（x₂，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合題意；
②當(dāng)a≥1時(shí)，有x₂＜x₁=1，同理可知，p（x）在區(qū)間（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；
③當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，有2a-1≤0，此時(shí)在區(qū)間（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，
從而p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足p(1)=-a-

1

2

≤0⇒a≥-

1

2

，
所以-

1

2

≤a≤

1

2

．
綜上可知a的范圍是[-

1

2

，

1

2

]．
（3）當(dāng)a=

2

3

時(shí)，f1(x)=

1

6

x2+

4

3

x+

5

9

lnx，f2(x)=

1

2

x2+

4

3

x
記y=f2(x)-f1(x)=

1

3

x2-

5

9

lnx，x∈(1，+∞)．
因?yàn)?span id="28lzuq0" class="MathJye">y′=

2x

3

-

5

9x

=

6x2-5

9x

＞0，所以y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
所以f2(x)-f1(x)＞f2(1)-f1(1)=

1

3

，設(shè)R(x)=f1(x)+

1

3

λ，(0＜λ＜1)，則f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在區(qū)間（1，+∞）上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函數(shù)g（x）有無窮多個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系等，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．