Question

一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都與一個(gè)球相切，已知該正三棱柱底面的邊長(zhǎng)為4

3

，則其內(nèi)切球的體積為（　�。�

• A．

  4π

  3

• B．

  8 3 π

  3

• C．

  32π

  3

• D．

  16π

  3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，內(nèi)切球的直徑等于正三棱柱的高，半徑等于底面正三角形的內(nèi)切圓半徑，由此結(jié)合底面的邊長(zhǎng)為4

3

算出球半徑r=2，利用球體積公式即可算出內(nèi)切球的體積．

解答：解：∵正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都與一個(gè)球相切，
∴球的直徑等于三棱柱的高，且等于底面正三角形的內(nèi)切圓直徑
根據(jù)底面邊長(zhǎng)為4

3

，算出內(nèi)切圓半徑r=2．
由球的體積公式，得內(nèi)切球的體積為V=

4π

3

πr³=

32π

3

，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出正三棱柱有一個(gè)內(nèi)切球，在已知底面邊長(zhǎng)的情況下求球的體積．著重考查了正三棱柱的性質(zhì)、正三角形的計(jì)算和球的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．