Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（一1，1），P是動點(diǎn)，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA．
（I）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個點(diǎn)，且，直線OP與QA交于點(diǎn)M，試探究：點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是否為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由k_OP+k_OA=k_PA，得，由此能求出點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）法一：設(shè)，由可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，故x₂+x₁=-1，由O、M、P三點(diǎn)共線可知，與共線，由此能求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．
法二：設(shè)，由可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，故x₂=-x₁-1，所以直線OP方程為：y=x₁x，直線QA的斜率為：，由此能求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，
則由k_OP+k_OA=k_PA，
得，（2分）
整理得軌跡C的方程為y=x²（x≠0且x≠-1），…（4分）
（Ⅱ）（方法一）設(shè)，
由可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
故，即x₂+x₁=-1，…（6分）
由O、M、P三點(diǎn)共線可知，與共線，
∴，
由（Ⅰ）知x₁≠0，故y=xx₁，（8分）
同理，由與共線，
∴，
即（x₂+1）[（x+1）（x₂-1）-（y-1）]=0，
由（Ⅰ）知x₂≠-1，故（x+1）（x₂-1）-（y-1）=0，（10分）
將y=xx₁，x₂=-1-x₁代入上式得（x+1）（-2-x₁）-（xx₁-1）=0，
整理得-2x（x₁+1）=x₁+1，
由x₁≠-1得，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．  （12分）
（方法二）
設(shè)，
由可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
故，即x₂=-x₁-1，（6分）
∴直線OP方程為：y=x₁x①； （8分）
直線QA的斜率為：，
∴直線QA方程為：y-1=（-x₁-2）（x+1），
即y=-（x₁+2）x-x₁-1②； （10分）
聯(lián)立①②，得，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．（12分）
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法，探究點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是否為定值．具體涉及到直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的基本性質(zhì)、向量知識、直線方程等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．