Question

如圖所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長是2，側棱長是，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的大�。�
（Ⅲ）求點A到平面A₁BD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設AB₁與A₁B相交于點P，連接PD，則P為AB₁中點，由此能夠證明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）法一：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中D是AC的中點，知BD⊥AC，由平面AA₁C₁C⊥平面ABC，知BD⊥平面AA₁C₁C，故BD⊥A₁D，∠A₁DA為二面角A₁-BD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-A的大�。�
（Ⅱ）法二：建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-A的大�。�
（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）知BD⊥AC、BD⊥A₁D，設點A到平面A₁BD的距離為d，利用等積法能求出點A到平面A₁BD的距離．
（Ⅲ）法二：由（Ⅱ）得=（1，0，0），n=（，0，1），利用向量法能求出點A到平面A₁BD的距離．
解答：解：（Ⅰ）證明：設AB₁與A₁B相交于點P，連接PD，
則P為AB₁中點，
∵D為AC中點，
∴PD∥B₁C．
又∵PD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中D是AC的中點，
知BD⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁D，
故∠A₁DA為二面角A₁-BD-A的平面角，
又AD⊥A₁A，，AD=1，
∴∠A₁DA=60°，即二面角A₁-BD-A的大小為60°．…（8分）
（Ⅱ）解法二：如圖建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），A₁（1，0，），
B（0，，0），B₁（0，，），
∴=（-1，，-），=（-1，0，-），
設平面A₁BD的法向量為=（x，y，z），
則，

則有，令z=1，得=（，0，1）
由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個法向量．
設與所成角為θ，
則，∴，
∴二面角A₁-BD-A的大小是…（8分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知BD⊥AC、BD⊥A₁D，
設點A到平面A₁BD的距離為d，
∴，
故
=
解得：，
即點A到平面A₁BD的距離為．…（12分）
（Ⅲ）解法二：由（Ⅱ）已知，
得=（1，0，0），=（，0，1）
則
即點A到平面A₁BD的距離為．…（12分）
點評：本題考查直線與平面平行、二面角、點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．