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          （2012•朝陽區(qū)一模）設函數(shù)f(x)=
          eaxx2+1
          ，a∈R          ．
          （Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
          （Ⅱ）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（I）先求導數(shù)f'（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決．
          （II）對字母a進行分類討論，再令f'（x）大于0，解不等式，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令導數(shù)小于0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
          解答：解：因為f(x)=
          eax
          x2+1
          ，所以f′(x)=
          eax(ax2-2x+a)
          (x2+1)2
          ．
          （Ⅰ）當a=1時，f(x)=
          ex
          x2+1
          ，f′(x)=
          ex(x2-2x+1)
          (x2+1)2
          ，
          所以f（0）=1，f'（0）=1．
          所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x-y+1=0．…（4分）
          （Ⅱ）因為f′(x)=
          eax(ax2-2x+a)
          (x2+1)2
          =
          eax
          (x2+1)2
          (ax2-2x+a)          ，…（5分）
          （1）當a=0時，由f'（x）＞0得x＜0；由f'（x）＜0得x＞0．
          所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減．…（6分）
          （2）當a≠0時，設g（x）=ax2-2x+a，方程g（x）=ax2-2x+a=0的判別式△=4-4a2=4（1-a）（1+a），…（7分）
          ①當0＜a＜1時，此時△＞0．
          由f'（x）＞0得x＜
          1-
          		1-a2
          a
          ，或x＞
          1+
          		1-a2
          a
          ；
          由f'（x）＜0得
          1-
          		1-a2
          a
          ＜x＜
          1+
          		1-a2
          a
          ．
          所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，
          1-
          		1-a2
          a
          )          和(
          1+
          		1-a2
          a
          ，+∞)          ，
          單調(diào)遞減區(qū)間(
          1-
          		1-a2
          a
          ，
          1+
          		1-a2
          a
          )          ．…（9分）
          ②當a≥1時，此時△≤0．所以f'（x）≥0，
          所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）．…（10分）
          ③當-1＜a＜0時，此時△＞0．
          由f'（x）＞0得
          1+
          		1-a2
          a
          ＜x＜
          1-
          		1-a2
          a
          ；
          由f'（x）＜0得x＜
          1+
          		1-a2
          a
          ，或x＞
          1-
          		1-a2
          a
          ．
          所以當-1＜a＜0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，
          1+
          		1-a2
          a
          )          和(
          1-
          		1-a2
          a
          ，+∞)          ，
          單調(diào)遞增區(qū)間(
          1+
          		1-a2
          a
          ，
          1-
          		1-a2
          a
          )          ．…（12分）
          ④當a≤-1時，此時△≤0，f'（x）≤0，所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，+∞）．…（13分）
          點評：本題以三次函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•朝陽區(qū)一模）某次有1000人參加的數(shù)學摸底考試，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀．
          （Ⅰ）下表是這次考試成績的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a，b的值；
          

          


          
區(qū)間
[75，80）
[80，85）
[85，90）
[90，95）
[95，100]
          

          
人數(shù)
50
a
350
300
b
          （Ⅱ）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成績進行分析，求其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù)；
          （Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的40名學生中，要隨機選取2名學生參加座談會，記“其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為X，求X的分布列與數(shù)學期望．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•朝陽區(qū)一模）函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．當0≤x≤1時，f（x）=x2．若直線y=x+a與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個不同的公共點，則實數(shù)a的值為（　�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•朝陽區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=
          (
          1
          2
          )          x          +
          3
          4
          ，          		x≥2
          log2x，0＜x＜2
          若函數(shù)g（x）=f（x）-k有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是
          （
          3
          4
          ，1）
          （
          3
          4
          ，1）
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•朝陽區(qū)一模）某企業(yè)員工500人參加“學雷鋒”志愿活動，按年齡分組：第1組[25，30），第2組[30，35），第3組[35，40），第4組[40，45），第5組[45，50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
          （Ⅰ）下表是年齡的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a，b的值；
          

          


          
區(qū)間
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50]
          

          
人數(shù)
50
50
a
150
b
          （Ⅱ）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，年齡在第1，2，3組的人數(shù)分別是多少？
          （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動，求至少有1人年齡在第3組的概率．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•朝陽區(qū)一模）復數(shù)
          10i
          1-2i
          =（　�。�
          

			
          

			
          
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