Question

【題目】已知橢圓，若在，，，四個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)在上．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)與點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ．(2)

【解析】

（1） 由于橢圓是對(duì)稱(chēng)圖形，得點(diǎn)，必在橢圓上，故，再分別討論在上時(shí)和在上時(shí)橢圓的方程，根據(jù)題意進(jìn)行排除，最后求解出結(jié)果。

（2） 設(shè)，，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表達(dá)出的值，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分類(lèi)討論設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，將轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題，從而求解出的范圍。

解：（1）與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

由題意知在上，當(dāng)在上時(shí)，，，，

當(dāng)在上時(shí)，，，

∴與矛盾，∴橢圓的方程為．

（2）設(shè)，，、關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

，，

．

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

代入橢圓方程得，，

，

由于可以取任何實(shí)數(shù)，故．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，，，

∴．

綜上可得．