Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+=S_n²，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（I）求證：a_n²=2S_n-a_n；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ為非零常數(shù)，n∈N^*），問是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合題．在解答時(shí)：
（I）首先討論n=1和n≥2時(shí)兩種情況，結(jié)合通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系通過作差、變形化簡(jiǎn)即可獲得問題的解答；
（II）利用（1）的結(jié)論寫出相鄰的一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，注意保證n≥2．用作差法可分析知數(shù)列a_n為等差數(shù)列，進(jìn)而即可獲得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（III）首先假設(shè)存在λ使得滿足題意，然后計(jì)算化簡(jiǎn)b_n+1-b_n，再結(jié)合恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意的n∈N*恒成立．然后分n為奇偶數(shù)討論即可獲得λ的范圍，再結(jié)合為整數(shù)即可獲得問題的解答．
解答：解：
（I）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁³=a₁²，∵a₁＞0，∴a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，
a₁³+a₂³+…+a_n-1³=S_n-1²，
兩式相減知：a_n³=S_n²-S_n-1²=a_n（2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n），
∵a_n＞0
∴a_n²=2a₁+2a₂+…+2a_n-1+2a_n-a_n
∴a_n²=2S_n-a_n
綜上可知：∴a_n²=2S_n-a_n，n∈N*．
（II）∵a_n²=2S_n-a_n
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1，
∴a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
又∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1-1=0
∴a_n-a_n-1=1
所以數(shù)列a_n為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=n，n∈N*．
（III）假設(shè)存在λ使得對(duì)任意的n∈N*，有b_n+1＞b_n．
∵a_n=n，n∈N*
∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ，
∴b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ]
∴b_n+1-b_n=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0
∴對(duì)任意的n∈N*恒成立．
當(dāng)n=2k-1，k∈N*時(shí)，對(duì)任意的k∈N*恒成立．
∴λ＜1
當(dāng)n=2k，k∈N*時(shí)，對(duì)任意的k∈N*恒成立．
∴λ＞-
∴-＜λ＜1，又∵λ≠0且λ∈Z
∴λ=-1．
∴存在整數(shù)λ=-1，使得對(duì)任意n∈N*有b_n+1＞b_n成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的知識(shí)、分類討論的知識(shí)以及恒成立問題的解答規(guī)律．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．