Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f′（x）的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＜

1

2

，則f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集為（　�。�

• A、{x|-1＜x＜1}
• B、{x|x＜-1}
• C、{x|x＜-1或x＞1}
• D、{x|x＞1}

Answer 1

分析：先把不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

移項(xiàng)并設(shè)φ（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，然后求出導(dǎo)函數(shù)φ′（x）又因?yàn)楹瘮?shù)f′(x)＜

1

2

，所以φ′（x）＜0即φ（x）是減函數(shù)由f（1）=1求出φ（1）=0，根據(jù)函數(shù)是減函數(shù)得到f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集即可．

解答：解：?(x)=f(x)-

x

2

-

1

2

，則?/(x)=f/(x)-

1

2

＜0，
∴φ（x）在R上是減函數(shù)．
?(1)=f(1)-

1

2

-

1

2

=1-1=0，
∴?(x)=f(x)-

x

2

-

1

2

＜0的解集為{x|x＞1}．
故選D．

點(diǎn)評：此題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性．