Question

如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，△BCD是正三角形．
（Ⅰ）將四邊形ABCD的面積S表示為θ的函數(shù)；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積S的最大值及此時(shí)θ角的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知S_四邊形=S_△ABD+S_△BCD，由于可由題設(shè)條件用θ三角函數(shù)表示出來(lái)，△BCD是正三角形，需要在，△BAD由余弦定理求出其邊長(zhǎng)方能計(jì)算出它的面積，分別計(jì)算出兩個(gè)三角形的面積，再相加即可得到四邊形ABCD的面積S表示為θ的函數(shù)；
（II）由（I）中的四邊形的面積函數(shù)表達(dá)式，利用三角函數(shù)的有界性求出函數(shù)的最值及最值取到時(shí)θ角的值．

解答：解：（I）由余弦定理得，BD²=AB²+AD²-2AB×BDcosθ=2-2cosθ
（也可得到BD=2sin2

θ

2

）（2分）
S_四邊形=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

×1×1×sinθ+

3

4

(2-2cosθ)=

1

2

sinθ-

3

2

cosθ+

3

2

（5分）
S=

3

2

+sin(θ-

π

3

)，θ∈（0，π）；（7分）
（II）由（I）S=

3

2

+sin(θ-

π

3

)
當(dāng)θ=

5

6

π時(shí)，S最大值為1+

3

2

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握余弦定理的內(nèi)容且能在實(shí)際問題中用余弦定理建立方程求值，本題考查了三角函數(shù)的有界性以及兩角和與差的正弦函數(shù)，知識(shí)性較強(qiáng)，本題考查了利用公式變形的能力