Question

已知△ABC的邊AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0點B關(guān)于點M（2，0）的對稱點為C，點T（-1，1）在AC邊所在直線上且滿足

AT

•

AB

=0．
（I）求AC邊所在直線的方程；
（II）求△ABC的外接圓的方程；
（III）若點N的坐標(biāo)為（-n，0），其中n為正整數(shù)．試討論在△ABC的外接圓上是否存在點P，使得|PN|=|PT|成立？說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中

AT

•

AB

=0可得AC⊥AB，結(jié)合T點坐標(biāo)及AB的方程為x-3y-6=0點，我們易求出AC邊所在直線的方程；
（II）結(jié)合（I）中結(jié)論，及B、C兩點關(guān)于M點對稱，可得△ABC的外接圓是以M為圓心，以BC為直徑的圓，求出BC長即可得到圓的方程；
（III）若在△ABC的外接圓圓M上存在點P，使得|PN|=|PT|成立，則P為線段NT的垂直平分線L與圓M的公共點．所以當(dāng)L與圓M相離時，不存在滿足條件的點P；當(dāng)L與圓M相交或相切時則存在滿足條件的點P．由此設(shè)出N點坐標(biāo)，代入點到直線距離公式進行驗證，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）∵

AT

•

AB

=0∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC為Rt△ABC，（1分）
又AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，，所以直線AC的斜率為-3．（2分）
又因為點T（-1，1）在直線AC上，
所以AC邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．（3分）
（II）AC與AB的交點為A，所以由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

解得點A的坐標(biāo)為（0，-2），（5分）

∵點B關(guān)于M(2，0)的對稱點為C， ∴M為Rt△ABC斜邊上的中點，即為Rt△ABC外接圓的圓心

（6分）
又r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．（7分）
從△ABC外接圓的方程為：（x-2）²+y²=8．（8分）
（III）若在△ABC的外接圓圓M上存在點P，使得|PN|=|PT|成立，則P為線段NT的垂直平分線L與圓M的公共點．所以當(dāng)L與圓M相離時，不存在滿足條件的點P；當(dāng)L與圓M相交或相切時則存在滿足條件的點P．
由N（-n，0），T（-1，1），知NT的斜率為

1

n-1

，線段NT的中點為(-

n+1

2

，

1

2

)
線段NT的垂直平分線L為y-

1

2

=-(n-1)(x+

n+1

2

)即2(1-n)x-2y+(2-n2)=0（10分）
圓M的圓心M到直線L的距離為
d=

|4(1-n)-0+2-n2|

4(1-n)2+(-2)2

=

|n2+4n-6|

2 n2-2n+2

（11分）
i）當(dāng)n=1時，d=

1

2

，而r=2

2

，由d＜r，此時直線L與圓M相交，存在滿足條件的點P
ii）當(dāng)n=2時d=

3 2

2

＜

8

=r，此時直線L與圓M相交，存在滿足條件的點P
iii）當(dāng)n≥3時，d=

n2+4n-6

2 n2-2n+2

=

1

2

(

n2-2n+2

+

6n-8

n2-2n+2

)＞

1

2

•2

6n-8

＞

8

=r
此時直線L與圓M相離，不存在滿足條件的點P．（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓相交的性質(zhì)，與直線關(guān)于點對稱的直線方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中根據(jù)已知條件確定A，B，C三點的坐標(biāo)及三邊的關(guān)系，以判斷三角形ABC的形狀是解答本題的關(guān)鍵．