Question

已知函數的定義域為，值域為[-5，4]；函數 g（x）=asinx+2bcosx，x∈R．
（1）求函數g（x）的最小正周期和最大值；
（2）當x∈[0，π]，且g（x）=5時，求tan x．

Answer 1

解：（1）f（x）=a（1-cos2x）-sin2x+b=-a（cos2x+sin2x）+a+b=-2a sin（2x+）+a+b．----------（2分）
∵x∈，∴2x+，sin（2x+）∈．顯然a=0不合題意．--------（4分）
當a＞0時，值域為[b-a，b+2a]，即．----------（6分）
當a＜0時，值域為[b+2a，b-a]，即． （8分）
當a＞0時，g（x）=3sinx-4cosx=5sin（x+?₁），∴T=2π，g（x）_max=5；
當a＜0時，g（x）=-3sinx+2cosx=sin（x+?₂），∴T=π，g（x）_max=．------------（10分）
（2）由上可知，
當a＞0時，由g（x）=5sin（x+?₁），且tan?₁=-，g（x）_max=5，此時x+?₁=2kπ+（k∈Z）．
則x=2kπ+-?₁（k∈Z），由于 x∈（0，π），∴tanx=cot ?₁=-．（12分）
當a＜0時，g（x）_max=＜5，所以不存在符合題意的x．（13分）
綜上，tan x=-．-------------------（14分）
分析：（1）利用 三角函數的恒等變換化簡f（x）的解析式為-2a sin（2x+）+a+b，分a＞0和a＜0，根據函數的值域分別求出a、b的值，從而求得函數g（x）的最小正周期和最大值．
（2）由上可知當a＞0時，由g（x）=5sin（x+?₁），且tan?₁=-，g（x）_max=5，此時x+?₁=2kπ+（k∈Z），可得tanx=cot ?₁=-．當a＜0時，g（x）_max=＜5，故不存在
符合題意的x．
點評：本題主要考查正弦函數的定義域和值域，三角函數的恒等變換及化簡求值，求出a、b的值，是解題的關鍵，屬于中檔題．