Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，且過(guò)點(diǎn)（0，1）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如果直線(xiàn)x=t（t∈R）與橢圓相交于A(yíng)、B，若E(-

2

，0)，D(

2

，0)，求證：直線(xiàn)EA與直線(xiàn)BD的交點(diǎn)K必在一條確定的雙曲線(xiàn)上；
（3）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OP

•

OQ

=-

1

3

，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及參數(shù)a、b、c的關(guān)系即可得出；
（2）利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)上滿(mǎn)足的條件及雙曲線(xiàn)的意義即可證明；
（3）把直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系并利用已知條件即可得出．

解答：解：（1）依題意有：b=1，

c

a

=

2

2

，又a²=c²+1，
解得：a=2，c=1，
故橢圓C的方程為：

x2

2

+y2=1．
（2）依題意可設(shè)A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y）．且有

t2

2

+y02=1，
又EA：y=

y0

t+ 2

(x+

2

)，DB：y=

-y0

t- 2

(x-

2

)，
∴y2=

-y02

t2-2

(x2-2)，由

t2

2

+y02=1得：y02=

1

2

(2-t2)
代入即得y2=

1

2

(x2-2)，即為：

x2

2

-y2=1，
所以直線(xiàn)EA與直線(xiàn)BD的交點(diǎn)K必在雙曲線(xiàn)

x2

2

-y2=1上．
（3）（A）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，P(-1，

1

2

)，Q(-1，-

1

2

)，此時(shí)

OP

•

OQ

=1-

1

2

=

1

2

，不滿(mǎn)足要求；
（B）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)設(shè)為k，則直線(xiàn)l為：y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
由

OP

•

OQ

=-

1

3

得：x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=-

1

3

，
即：(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=-

1

3

；
則：(1+k2)

2k2-2

1+2k2

+k2

-4k2

1+2k2

+k2=-

1

3

；
解得：k²=1⇒k=±1；
直線(xiàn)l過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)，故恒有兩個(gè)交點(diǎn)，則k=±1滿(mǎn)足要求，
故直線(xiàn)l的方程為：y=x+1或y=-x-1．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的定義及性質(zhì)、直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)上滿(mǎn)足的條件、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題的解法、根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．