Question

已知f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),f(x)＞0且f(3)=1,指出函數(shù)F(x)=f(x)+(x＞0)的單調(diào)區(qū)間,并加以證明.?

Answer 1

思路分析:這道題要求先寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間,但單調(diào)區(qū)間無(wú)法從函數(shù)解析式上觀察出來(lái).也無(wú)法畫(huà)出函數(shù)的圖象,再?gòu)膱D象上看出來(lái).故只能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義,直接進(jìn)行演繹推理.由已知條件f(3)=1,猜測(cè):3可能是單調(diào)區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn).?

解:設(shè)0＜x₁＜x₂,則?

F(x₂)-F(x₁)=f(x₂)+-［f(x₁)+］

=［f(x₂)-f(x₁)］·［1-］.?

當(dāng)0＜x₁＜x₂≤3時(shí),0＜f(x₁)＜f(x₂)≤f(3) =1,?

∴f(x₂)-f(x₁)＞0,1-＜0.?

∴F(x₂)-F(x₁)＜0,F(x₂)＜F(x₁).?

∴F(x)在(0,3］上是減函數(shù).?

當(dāng)3≤x₁＜x₂時(shí),1=f(3)≤f(x₁)＜f(x₂),?

∴f(x₂)-f(x₁)＞0,1-＞0.?

∴F(x₂)-F(x₁)＞0,F(x₂)＞F(x₁).?

∴F(x)在［3,+∞)上是增函數(shù).