Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為

(1) 求的值；

(2) 證明: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：第一問結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)在切線上也在函數(shù)圖像上，從而建立關(guān)于的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果；第二問可以有兩種方法，一是將不等式轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，從而求得結(jié)果，二是利用中間量來完成，這樣利用不等式的傳遞性來完成，再者這種方法可以簡化運(yùn)算.

詳解：（1）解：，由題意有，解得

（2）證明：（方法一）由（1）知，.設(shè)

則只需證明

，設(shè)

則， 在上單調(diào)遞增

，

，使得

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

，由，得，

，

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，

，因此

（方法二）先證當(dāng)時(shí)， ，即證

設(shè)，則，且

，在單調(diào)遞增，

在單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，

（也可直接分析 顯然成立）

再證

設(shè)，則，令，得

且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

，即

又，