Question

（2012•德陽(yáng)二模）已知a、b∈R，a²+ab+b²=3，則a²-ab+b²的取值范圍是

[1，9]

．

Answer 1

分析：由基本不等式得：a²+b²≥|2ab|，結(jié)合已知條件中的等式，得|2ab|≤3-ab，從而解出-3≤ab≤1，由此代入a²-ab+b²，可得所求的取值范圍．

解答：解：∵a²+ab+b²=3，∴a²+b²=3-ab
∵由基本不等式，得a²+b²≥|2ab|，
∴|2ab|≤3-ab，得-3+ab≤2ab≤3-ab
解這個(gè)不等式，得-3≤ab≤1
∴-2ab∈[-2，6]
∵a²-ab+b²=（a²+ab+b²）-2ab=3+（-2ab）
∴a²-ab+b²∈[1，9]，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，a²-ab+b²的最小值為1；當(dāng)a=-b=

3

時(shí)，a²-ab+b²的最大值為9
故答案為：[1，9]

點(diǎn)評(píng)：本題以不等式為載體，求變量的取值范圍，著重考查了用基本不等式求最值和簡(jiǎn)單的演繹推理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．