Question

已知函數(shù)f（x）=m-

2

2x+1

為奇函數(shù)，g（x）=ax²+5x-2a（a＞0）．
（1）若f（1-x）+f（1-x²）＞0，求x的取值范圍；
（2）對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=m-

2

2x+1

為奇函數(shù)，滿足f（-x）+f（x）=0，可得m的值，進(jìn)而可分析出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，將不等式f（1-x）+f（1-x²）＞0化為二次不等式，解答可得答案．
（2）若對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，兩個(gè)函數(shù)的值域滿足[0，

1

3

]⊆[-2a.5-a]，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組可得答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=m-

2

2x+1

為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=m-

2

2-x+1

+m-

2

2x+1

=2m-

2•2x+2

2x+1

=2m-2=0
解得m=1
∴f（x）=1-

2

2x+1

則f（x）在R為增函數(shù)
故f（1-x）+f（1-x²）＞0可化為f（1-x）＞-f（1-x²）
即f（1-x）＞f（x²-1）
即1-x＞x²-1
即x²+x-2=（x+2）（x-1）＜0
解得x∈（-2，1）
（2）當(dāng)x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[f（0），f（1）]=[0，

1

3

]
∵函數(shù)g（x）=ax²+5x-2a（a＞0）的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=-

5

2a

為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線．
∴函數(shù)g（x）=ax²+5x-2a（a＞0）在[0，1]上為增函數(shù)
當(dāng)x₂∈[0，1]時(shí)，g（x₂）∈[g（0），g（1）]=[-2a.5-a]
若對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，
則[0，

1

3

]⊆[-2a.5-a]
即

a＞0 -2a≤0 5-a≥ 1 3

解得：a∈（0，

14

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，存在性問(wèn)題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度均大．