Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足2S_n+a_n=1．數列{b_n}中，b1=1，b2=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

(n∈N*)．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}滿足cn=

an

bn

，是否存在正整數k，使得n≥k時c₁+c₂+…+c_n＞S_n恒成立？若存在，求k的最小值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由2S_n+a_n=1，得Sn=

1

2

(1-an)．當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2

(1-an)-

1

2

(1-an-1)=-

1

2

an+

1

2

an-1，所以an=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．由此能求出數列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）cn=

an

bn

=n(

1

3

)n，設T_n=c₁+c₂+…+c_n，則Tn=1×(

1

3

)1+2×(

1

3

)2+3×(

1

3

)4+…+n×(

1

3

)n，再由錯位相減能導出所求的正整數k存在，其最小值為2．

解答：解：（1）由2S_n+a_n=1，得Sn=

1

2

(1-an)．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2

(1-an)-

1

2

(1-an-1)=-

1

2

an+

1

2

an-1，
即2an=-an+an-1∴

an

an-1

=

1

3

（由題意可知a_n-1≠0）．
∴{a_n}是公比為

1

3

的等比數列，
而S1=a1=

1

2

(1-a1)，
∴a1=

1

3

．∴an=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．（3分）
由

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

，
得

1

b1

=1，

1

b2

=2，d=

1

b2

-

1

b1

=1，
∴

1

bn

=n，
∴bn=

1

n

．（6分）
（2）cn=

an

bn

=n(

1

3

)n，
設T_n=c₁+c₂+…+c_n，則Tn=1×(

1

3

)1+2×(

1

3

)2+3×(

1

3

)3•••+n×(

1

3

)n，①

1

3

Tn=1(

1

3

)2+2(

1

3

)3+…+n(

1

3

)n+1②
（①-②）×

3

2

，化簡得Tn=

3

4

-

3

4

×(

1

3

)n-

1

2

n×(

1

3

)n=

3

4

-

2n+3

4

•

1

3n

．（10分）
而Sn=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

-

1

2×3n

，（11分） 
 S1=T1=

1

3

，Tn，Sn都隨n的增大而增大，
當n≥2時Tn-Sn=

1

4

(1-

2n+1

3n

)＞0，
∴T_n＞S_n，所以所求的正整數k存在，其最小值為2．（13分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．