Question

如圖，已知MN分別是橢圓C₁、C₂的長軸和短軸，且C₁、C₂的離心率都等于

2

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，直線l⊥MN，l與C₁交于B，C兩點，與C₂交于A，D兩點．
（I）當(dāng)|MN|=4時，求C₁，C₂的方程；
（II）當(dāng)l平行移動時，
（�。┳C明：|BC|：|AD|為定值；
（ⅱ）是否存在直線l，使BO∥AN？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．
（ⅱ）是否存在直線l，使BO∥AN？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)MN分別是橢圓C₁、C₂的長軸和短軸，且C₁、C₂的離心率都等于

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，確定幾何量之間的關(guān)系，即可求得橢圓的方程；
（II）（�。└鶕�(jù)C₁、C₂的離心率都等于

2

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，可設(shè)C₁，C₂的方程，設(shè)l：x=t（|t|＜a），分別與C₁、C₂方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論；（ⅱ）t=0時的l不符合題意；t≠0時，BO∥AN?k_BO=k_AN，利用BO∥AN建立等式，求得t=-a，與|t|＜a矛盾，故可得結(jié)論．

解答：（I）解：∵C₁離心率都等于

2

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，長軸長|MN|=4，
∴a=2，

c

a

=

2

2

∴c=

2

∴b²=a²-c²=2
∴C₁方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
∵C₂的離心率都等于

2

2

，短軸長|MN|=4，
∴C₂方程為

x2

4

+

y2

8

=1；
（II）（ⅰ）證明：由于C₁、C₂的離心率都等于

2

2

，可設(shè)C₁：

x2

a2

+

2y2

a2

=1，C₂：

x2

a2

+

y2

2a2

=1
設(shè)l：x=t（|t|＜a），分別與C₁、C₂方程聯(lián)立，求得A（t，

2(a2-t2)

），B（t，

2(a2-t2)

2

）
∴|BC|：|AD|=

1

2

為定值；
（ⅱ）解：t=0時的l不符合題意．…（9分）
t≠0時，BO∥AN?k_BO=k_AN
而kOB=

2(a2-t2)

2t

，kAN=

2(a2-t2)

t-a

所以BO∥AN?

2(a2-t2)

2t

=

2(a2-t2)

t-a

…（11分）
解得t=-a，與|t|＜a矛盾，所以不存在直線l，使BO∥AN．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．