Question

已知函數(shù)f（x）=ax_³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數(shù)），其導函數(shù)為f′（x）．
（1）當a=時，若不等式f'（x）＞-對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，討論關(guān)于x的方程f（x）=k在[-1，+∞）上實數(shù)根的情況．

Answer 1

解：（1）當a=時，f′（x）=x²+2bx+b-，
依題意f′（x）=x²+2bx+b-＞，即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得0＜b＜1
所以b的取值范圍是（0，1）；
（2）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），∴b=0，∴函數(shù)f（x）=ax³-ax
∴f′（x）=3ax²-a
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0
∴a=1
∴f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1
∴f（x）在（-∞，-），（，+∞）上單調(diào)遞增，在（-，）上單調(diào)遞減
由f（x）=0得x=±1，x=0
f（x）在[-1，+∞）上圖象如圖所示
∵f（）=，f（）=-，
∴當k＜-時，f（x）=k在[-1，+∞）上沒有實數(shù)根；
當k＞或k=-時，f（x）=k在[-1，+∞）上有且只有一個實數(shù)根；
當k=或-＜k＜0時，f（x）=k在[-1，+∞）上有兩個實數(shù)根；
當0＜k＜時，f（x）=k在[-1，+∞）上有三個實數(shù)根．
分析：（1）求導函數(shù)，利用不等式f'（x）＞-對任意x∈R恒成立，可得x²+2bx+b＞0恒成立，利用判別式可得b的取值范圍；
（2）利用函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，求出函數(shù)解析式，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，再分類討論，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學思想，考查方程根的討論，屬于中檔題．