Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱線長為1，線段B₁D₁上有兩個(gè)動點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=

2

2

，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

A、AC⊥BE

B、EF∥平面ABCD

C、三棱錐A-BEF的體積為定值

D、異面直線AE，BF所成的角為定值

Answer 1

分析：利用證線面垂直，可證AC⊥BE；判斷A正確；
根據(jù)正方體中上下面平行，由面面平行的性質(zhì)可證，線面平行，從而判斷B正確；
根據(jù)三棱錐的底面面積與EF的位置無關(guān)，高也與EF的位置無關(guān)，可判斷C正確；
例舉兩個(gè)特除位置的異面直線所成的角的大小，根據(jù)大小不同判斷D錯(cuò)誤．

解答：解：∵在正方體中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B₁D₁DB，BE?平面B₁D₁DB，∴AC⊥BE，故A正確；
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，EF?平面A₁B₁C₁D₁，∴EF∥平面ABCD，故B正確；
∵EF=

2

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，∴△BEF的面積為定值

1

2

×EF×1=

2

4

，又AC⊥平面BDD₁B₁，∴AO為棱錐A-BEF的高，∴三棱錐A-BEF的體積為定值，故C正確；
∵利用圖形設(shè)異面直線所成的角為α，當(dāng)E與D₁重合時(shí)sinα=

1

2

，α=30°；當(dāng)F與B₁重合時(shí)tanα=

2

2

，∴異面直線AE、BF所成的角不是定值，故D錯(cuò)誤；
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了異面直線所成的角及求法，考查了線面垂直、面面平行的性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力及作圖分析能力．