Question

已知雙曲線=1的右焦點(diǎn)是F，右頂點(diǎn)是A,虛軸的上端點(diǎn)是B，·=6-4，∠BAF=150°.

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)Q是雙曲線上的點(diǎn)，且過點(diǎn)F、Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若+2=0，求直線l的斜率.

Answer 1

（1）（2）k=±

解析:

（1）由條件知A(a,0),B(0,b),F(c,0)

·=（-a, b)·(c-a,0)=a(a-c)=6-4

·

·

cos∠BAF=

=-=cos150°=-.

∴a=c,代入a(a-c)=6-4中得c=2.

∴a=,b²=c²-a²=2,故雙曲線的方程為.

(2)∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）.

∴可設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),

令x=0，得y=-2k，即M(0,-2k)

設(shè)Q（m,n），則由+2=0得

(m,n+2k)+2(2-m,-n)=(0,0).

即(4-m,2k-n)=（0,0).

即，∵.

∴=1，得k²=，k=±.