Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=

3

，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，連OE、AE，將PB平移到OE，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角，在△AOE中利用余弦定理，即可求出AC與PB所成角的余弦值；
（2）分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，求出A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)，設(shè)N（0，y，z），利用空間互相垂直的向量數(shù)量積為零，建立關(guān)于x、y的方程組，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，

3

6

，1），即可得到N到AB、AP的距離分別為1和

3

6

．

解答：解：（1）設(shè)AC∩BD=O，連OE、AE，則OE∥PB，
∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角．
在△AOE中，AO=1，OE=

1

2

PB=

7

2

，AE=

1

2

PD=

5

2

，
∴cos∠EOA=

7 4 +1- 5 4

2× 7 2 ×1

=

3 7

14

．
即AC與PB所成角的余弦值為

3 7

14

．
（2）分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則可得A（0，0，0）、B（0，

3

，0）、C（1，

3

，0）、
D（1，0，0）、P（0，0，2）、E（

1

2

，0，1），
依題設(shè)N（0，y，z），則

NE

=（

1

2

，-y，1-z），由于NE⊥平面PAC，
∴

NE • AP =0 NE • AC =0

，化簡(jiǎn)得

2-2z=0 1 2 - 3 y=0

，可得y=

3

6

，z=1
因此，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，

3

6

，1），
從而側(cè)面PAB內(nèi)存在一點(diǎn)N，當(dāng)N到AB、AP的距離分別為1和

3

6

時(shí)，NE⊥平面PAC．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊四棱錐，求異面直線所成的角并探索線面垂直問(wèn)題，主要考查了異面直線的所成角，以及點(diǎn)到線的距離的計(jì)算，同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力和推理能力，屬于中檔題．