Question

經(jīng)過點(diǎn)（3，1）被圓C：x²+y²-2x-4y-20=0截得的弦最短的直線的方程是（　　）

A．x-2y-1=0

B．x+2y-1=0

C．x+2y-5=0

D．2x-y-5=0

Answer 1

分析：根據(jù)圓的性質(zhì)可得d2=r2-(

l

2

)2（l為直線被圓截得的弦長），若使經(jīng)過點(diǎn)（3，1）被圓C：x²+y²-2x-4y-20=0截得的弦最短，則只要圓心C到直線的距離d最大，而d≤PC，當(dāng)直線l與PC垂直時(shí)，d_max=PC，從而可求直線方程

解答：解：由題意可得圓心為C（1，2），半徑r=5
根據(jù)圓的性質(zhì)可得d2=r2-(

l

2

)2（l為直線被圓截得的弦長）
若使經(jīng)過點(diǎn)（3，1）被圓C：x²+y²-2x-4y-20=0截得的弦最短，則只要圓心C到直線的距離d最大
根據(jù)題意可得，d≤PC，當(dāng)直線l與PC垂直時(shí)，d_max=PC=

(3-1)2+(2-1)2

=

5

此時(shí)所求直線的斜率為k=-

1

kPC

=2
∴所求的直線的方程為y-1=2（x-3）整理可得2x-y-5=0
故選D

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓的相交位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵 是靈活利用圓性質(zhì)d2=r2-(

l

2

)2（l為直線被圓截得的弦長），把所求弦的最小轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離的最大值