Question

【題目】已知函數(shù)滿足，對于任意，且.令.

（1）求函數(shù)解析式；

（2）探求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）當或時，函數(shù)在上有一個零點，當時，函數(shù)在上沒有零點.

【解析】

試題分析：（1）由，得，由可知，以及任意，可得，綜合求得；（2）是一分段函數(shù)，先討論對稱軸和與絕對值零點的大小，再在每種情況下討論絕對值零點和區(qū)間端點的大小關(guān)系進行分類討論.

試題解析：（1）由，得，由可知， 所以，又對于任意，，即都成立， 所以，，，

所以.

（2）,

若，，其對稱軸為，當，即時，函數(shù)在上為增函數(shù)； 當，即時，函數(shù)在上為減函數(shù)， 在上為增函數(shù)；若，其對稱軸為，此時， 所以函數(shù)在上為減函數(shù)， 在上為增函數(shù)， 且，所以函數(shù)在上有一個零點；當時 ，，沒有零點；當時，函數(shù)在上為增函數(shù)， 在上為減函數(shù)，且，若，即時，函數(shù)在上沒有零點， 若，即時， 函數(shù)在上有一個零點.綜上得， 當或時函數(shù)

在上有一個零點；當時，函數(shù)在上沒有零點.