Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且滿足.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與相交于兩點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）首先依據(jù)動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)的關(guān)系找到點(diǎn)的極坐標(biāo)方程，再化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）首先根據(jù)條件確定直線的參數(shù)方程，依據(jù)參數(shù)的幾何意義，結(jié)合解方程，利用韋達(dá)定理得到解.

（Ⅰ）設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為，

由題設(shè)知.所以，

即的極坐標(biāo)方程，所以的直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）交點(diǎn)，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

曲線的直角坐標(biāo)方程，

代入得：，，

設(shè)方程兩根為，則分別是對(duì)應(yīng)的參數(shù)，

所以.