Question

在直角坐標系xOy中，點P到兩點（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于A，B兩點．
（1）寫出C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由題中條件：“點P到兩點（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4，”結(jié)合橢圓的定義知其軌跡式樣，從而求得其方程．
（2）先將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去y得到一個一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量垂直的條件列關(guān)于k方程式即可求得參數(shù)k值．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，-

3

），（0，

3

）為焦點，長半軸為2的橢圓，它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，故曲線C的方程為x²+

y2

4

=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

消去y并整理得
（k²+4）x²+2kx-3=0，
故x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁x₂=-

3

k2+4

．
∵

OA

⊥

OB

∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，化簡得-4k²+1=0，所以k=±

1

2

．

點評：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問題及方程思想，定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．