【題目】如圖，三棱柱
的所有棱長(zhǎng)均為2，底面
側(cè)面
， 
， 
為
的中點(diǎn)， 
.
（1）證明： 
.
（2）若
是
棱上一點(diǎn)，滿(mǎn)足
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【解析】試題分析：（1））取
的中點(diǎn)
，連接
，易證
為平行四邊形，從而
.由底面
側(cè)面
，可得
側(cè)面
，即
，又側(cè)面
為菱形，所以
，從而
平面
，可證得AB1⊥A1P．
（2）以
為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
.利用向量法求解．
試題解析;（1）取
的中點(diǎn)
，連接
，易證
為平行四邊形，從而
.由底面
側(cè)面
，底面
側(cè)面
， 
， 
底面
，所以
側(cè)面
，即
側(cè)面
，又
側(cè)面
，所以
，又側(cè)面
為菱形，所以
，從而
平面
，因?yàn)?/span>
平面
，所以
.
（2）由（1）知， 
， 
， 
，以
為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
.
因?yàn)閭?cè)面
是邊長(zhǎng)為2的菱形，且
，所以
， 
， 
， 
， 
， 
，得
.設(shè)
，得
，所以
，所以
.而
.所以
，解得
.所以
， 
， 
.設(shè)平面
的法向量
，由
得
，取
.而側(cè)面
的一個(gè)法向量
.設(shè)二面角
的大小為
.則
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某高校在
年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取
名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組：第
組
，第
組
，第
組
，第
組
，第
組
得到的頻率分布直方圖如圖所示
分別求第
組的頻率；
若該校決定在第組中用分層抽樣的方法抽取
名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，
已知學(xué)生甲和學(xué)生乙的成績(jī)均在第組，求學(xué)生甲和學(xué)生乙同時(shí)進(jìn)入第二輪面試的概率；
根據(jù)直方圖試估計(jì)這名學(xué)生成績(jī)的平均分.（同一組中的數(shù)據(jù)用改組區(qū)間的中間值代表）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
的導(dǎo)函數(shù)為
.
（1）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若對(duì)任意的
，關(guān)于
的不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】 山東省《體育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以學(xué)校為單位進(jìn)行體育測(cè)試，某校對(duì)高三1班同學(xué)按照高考測(cè)試項(xiàng)目按百分制進(jìn)行了預(yù)備測(cè)試，并對(duì)50分以上的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示，若90~100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人.
（Ⅰ）請(qǐng)估計(jì)一下這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；
（Ⅱ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績(jī)從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中任意選出兩人，形成一個(gè)小組.若選出的兩人成績(jī)差大于20，則稱(chēng)這兩人為“幫扶組”，試求選出的兩人為“幫扶組”的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在梯形
中，
，
，
，
是
的中點(diǎn)，將
沿
折起得到圖（二），點(diǎn)
為棱
上的動(dòng)點(diǎn).
（1）求證：平面
平面
；
（2）若
，二面角
為
，點(diǎn)為中點(diǎn)，求二面角
余弦值的平方.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
.
（1）試討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）若
，證明：方程
有且僅有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.（附：
，
，
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】 山東省《體育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以學(xué)校為單位進(jìn)行體育測(cè)試，某校對(duì)高三1班同學(xué)按照高考測(cè)試項(xiàng)目按百分制進(jìn)行了預(yù)備測(cè)試，并對(duì)50分以上的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示，若90~100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人.
（Ⅰ）請(qǐng)估計(jì)一下這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；
（Ⅱ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績(jī)從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中任意選出兩人，形成一個(gè)小組.若選出的兩人成績(jī)差大于20，則稱(chēng)這兩人為“幫扶組”，試求選出的兩人為“幫扶組”的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為了解人們對(duì)“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，某部門(mén)從年齡在15歲到65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人，并得到如圖所示的頻率分布直方圖，在這100人中不支持“延遲退休年齡政策”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：
(1)由頻率分布直方圖，估計(jì)這100人年齡的平均數(shù)；
(2)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的2
2列聯(lián)表，據(jù)此表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)“延遲退休年齡政策”的態(tài)度存在差異？
45歲以下 | 45歲以上 | 總計(jì) | |
不支持 | |||
支持 | |||
總計(jì) |
參考數(shù)據(jù)：
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】隨著智能手機(jī)的普及，使用手機(jī)上網(wǎng)成為了人們?nèi)粘Ｉ畹囊徊糠�，很多消費(fèi)者對(duì)手機(jī)流量的需求越來(lái)越大.長(zhǎng)沙某通信公司為了更好地滿(mǎn)足消費(fèi)者對(duì)流量的需求，準(zhǔn)備推出一款流量包.該通信公司選了5個(gè)城市（總?cè)藬?shù)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況、消費(fèi)能力等方面比較接近）采用不同的定價(jià)方案作為試點(diǎn)，經(jīng)過(guò)一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)該流量包的定價(jià)
:(單位：元/月）和購(gòu)買(mǎi)人數(shù)
(單位：萬(wàn)人）的關(guān)系如表:
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說(shuō)明，是否可以用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系？并指出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
（2）①求出關(guān)于的回歸方程；
②若該通信公司在一個(gè)類(lèi)似于試點(diǎn)的城市中將這款流量包的價(jià)格定位25元/ 月，請(qǐng)用所求回歸方程預(yù)測(cè)長(zhǎng)沙市一個(gè)月內(nèi)購(gòu)買(mǎi)該流量包的人數(shù)能否超過(guò)20 萬(wàn)人.
參考數(shù)據(jù)：
，
，
.
參考公式：相關(guān)系數(shù)
，回歸直線(xiàn)方程
，
其中
，
.
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