Question

【題目】如圖，已知橢圓C1與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸均為MN且在x軸上，短軸長(zhǎng)分別為2m，2n（m＞n），過(guò)原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1 ， C2的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D，記 ，△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2 ．

（1）當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若S1=λS2 ， 求λ的值；
（2）當(dāng)λ變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：以題意可設(shè)橢圓C1和C2的方程分別為

， ．其中a＞m＞n＞0，

＞1．

如圖1，若直線l與y軸重合，即直線l的方程為x=0，則

，

，

所以 ．

在C1和C2的方程中分別令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，

于是 ．

若 ，則 ，化簡(jiǎn)得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得 ．

故當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若S1=λS2，則 ．

（2）解：如圖2，若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，

不妨設(shè)直線l：y=kx（k＞0），

點(diǎn)M（﹣a，0），N（a，0）到直線l的距離分別為d1，d2，則

，所以d1=d2．

又 ，所以 ，即|BD|=λ|AB|．

由對(duì)稱(chēng)性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，

|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是 ．

將l的方程分別與C1和C2的方程聯(lián)立，可求得

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知xC=﹣xB，xD=﹣xA，于是

②

從而由①和②可得

③

令 ，則由m＞n，可得t≠1，于是由③可得 ．

因?yàn)閗≠0，所以k2＞0．于是③關(guān)于k有解，當(dāng)且僅當(dāng) ，

等價(jià)于 ，由λ＞1，解得 ，

即 ，由λ＞1，解得 ，所以

當(dāng) 時(shí)，不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2；

當(dāng) 時(shí)，存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2．

【解析】（1）設(shè)出兩個(gè)橢圓的方程，當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，求出△BDM和△ABN的面積S1和S2 ， 直接由面積比=λ列式求λ的值；（2）假設(shè)存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2 ， 設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出M和N到直線l的距離，利用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想把兩個(gè)三角形的面積比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度比，由弦長(zhǎng)公式得到線段長(zhǎng)度比的另一表達(dá)式，兩式相等得到 ，換元后利用非零的k值存在討論λ的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的點(diǎn)到直線的距離公式，需要了解點(diǎn)到直線的距離為：才能得出正確答案．